Pré-álgebra Exemplos

$\frac{6 z^{3} + 13 z^{2} - 4 z + 4}{z + \frac{1}{6}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$ é indefinida.

$x = - \frac{1}{6}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Fatore $6$ de $36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $6$ de $36 x^{3}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.2

Fatore $6$ de $78 x^{2}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.3

Fatore $6$ de $- 24 x$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 24}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.4

Fatore $6$ de $24$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.5

Fatore $6$ de $6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2})$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.6

Fatore $6$ de $6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Etapa 5.1.7

Fatore $6$ de $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$

Etapa 5.2

Expanda $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.5

Remova os parênteses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{36 x^{3} + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $6$ por $13$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$6 x$

$1$

$36 x^{3}$

$78 x^{2}$

$24 x$

$24$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $36 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x$ .

					$6 x^{2}$
	$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			+	$36 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $36 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $72 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$72 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $72 x^{2} + 12 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$

Etapa 5.13

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Etapa 5.14

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 36 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Etapa 5.15

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							-	$36 x$	-	$6$

Etapa 5.16

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 36 x - 6$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$

Etapa 5.17

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$
									+	$30$

Etapa 5.18

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$6 x^{2} + 12 x - 6 + \frac{30}{6 x + 1}$

Etapa 5.19

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1}{6}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Etapa 7