Pré-álgebra Exemplos

$\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1}{2}, 2$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 2) (2 (- 2) - 1)}{(- 2) - 2} < 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0.25) (2 (0.25) - 1)}{(0.25) - 2} < 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0.\overline{142857}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{2 (1) (2 (1) - 1)}{(1) - 2} < 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{2 (4) (2 (4) - 1)}{(4) - 2} < 0$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $28$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $\frac{1}{2} < x < 2$

Etapa 12