Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \sqrt{e^{x} x}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x e^{x}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x e^{x} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.3.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{x} \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 1.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq 0$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $0$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $0$ por $e^{0}$ .

$f (0) = \sqrt{0}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, \sqrt{e})$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{e}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{e}$ .

$y = \sqrt{e}$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, e \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Reordene $2$ e $e^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2) = e \sqrt{2}$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $e \sqrt{2}$ .

$y = e \sqrt{2}$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

Etapa 5