Pré-álgebra Exemplos

$y = - 13 \sin (\frac{π}{12} x - 1) + 50$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - 13$

$b = \frac{π}{12}$

$c = 1$

$d = 50$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $13$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Etapa 3.1

Encontre o período de $- 13 \sin (\frac{π x}{12} - 1)$ .

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Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{12}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{12} |}$

Etapa 3.1.3

$\frac{π}{12}$ é aproximadamente $0.26179938$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{12}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{12}{π}$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.1.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Etapa 3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Etapa 3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 12$

Etapa 3.1.6

Multiplique $2$ por $12$ .

$24$

Etapa 3.2

Encontre o período de $50$ .

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Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{12}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{12} |}$

Etapa 3.2.3

$\frac{π}{12}$ é aproximadamente $0.26179938$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{12}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{12}{π}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Etapa 3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 12$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $12$ .

$24$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$24$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{1}{\frac{π}{12}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $1 (\frac{12}{π})$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{12}{π}$ por $1$ .

Mudança de fase: $\frac{12}{π}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $13$

Período: $24$

Mudança de fase: $\frac{12}{π}$ ( $\frac{12}{π}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $50$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = 6 + \frac{12}{π}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $6 + \frac{12}{π}$ na expressão.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (6 + \frac{12}{π})}{12} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $6 + \frac{12}{π}$ e $12$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1.1

Fatore $6$ de $π (6 + \frac{12}{π})$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{12} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1.1.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{6 (2)} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{6 \cdot 2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (1 + \frac{2}{π})}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.2.1.1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (\frac{π}{π} + \frac{2}{π})}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (\frac{π + 2}{π})}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Combine $π$ e $\frac{π + 2}{π}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π (π + 2)}{π}}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1.1.4.1

Reduza a expressão $\frac{π (π + 2)}{π}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π (π + 2)}{π}}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π + 2}{1}}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.1.4.2

Divida $π + 2$ por $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} - 1) + 50$

Etapa 6.1.2.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2 - 1 \cdot 2}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2 - 2}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.5.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 0}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.5.3

Some $π$ e $0$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π}{2}) + 50$

Etapa 6.1.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \cdot 1 + 50$

Etapa 6.1.2.1.7

Multiplique $- 13$ por $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 + 50$

Etapa 6.1.2.2

Some $- 13$ e $50$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = 37$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $37$ .

$37$

Etapa 6.2

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 6 + \frac{12}{π} & 37 \\ 30 + \frac{12}{π} & 37 \\ 54 + \frac{12}{π} & 37 \\ 78 + \frac{12}{π} & 37 \\ 102 + \frac{12}{π} & 37 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $13$

Período: $24$

Mudança de fase: $\frac{12}{π}$ ( $\frac{12}{π}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $50$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 6 + \frac{12}{π} & 37 \\ 30 + \frac{12}{π} & 37 \\ 54 + \frac{12}{π} & 37 \\ 78 + \frac{12}{π} & 37 \\ 102 + \frac{12}{π} & 37 \end{array}$

Etapa 8