Pré-álgebra Exemplos

$y = - 2 \sec (\frac{π}{2} x + π) + 2$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Em qualquer $y = \sec (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ . Defina a parte interna da função secante, $b x + c$ , para $y = a \sec (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ .

$\frac{π x}{2} + π = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $π$ dos dois lados da equação.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π$

Etapa 1.2.1.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.1.3

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Etapa 1.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Etapa 1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Etapa 1.2.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $- π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- 3 π}{2}$

Etapa 1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{π x}{2} = - \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$π x = - 3 π$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $π x = - 3 π$ por $π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $π x = - 3 π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Divida $- 3$ por $1$ .

$x = - 3$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função secante $\frac{π x}{2} + π$ como igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} + π = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Subtraia $π$ dos dois lados da equação.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π$

Etapa 1.4.1.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.3

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Etapa 1.4.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.4.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$π x = π$

Etapa 1.4.3

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 1.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 1.4.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 1$

Etapa 1.5

O período básico para $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ ocorrerá em $(- 3, 1)$ , em que $- 3$ e $1$ são assíntotas verticais.

$(- 3, 1)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 1.6.1

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 1.6.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ ocorrem em $- 3$ , $1$ e a cada $x = - 3 + 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = - 3 + 2 n$

Etapa 1.8

A secante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - 3 + 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - 3 + 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \sec (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - 2$

$b = \frac{π}{2}$

$c = - π$

$d = 2$

Etapa 3

Como o gráfico da função $s e c$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Etapa 4.1

Encontre o período de $- 2 \sec (\frac{π x}{2} + π)$ .

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Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Etapa 4.1.3

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 4.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 4.2

Encontre o período de $2$ .

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Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Etapa 4.2.3

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.2.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.2.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 4.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$4$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- π \frac{2}{π}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $π$ de $- π$ .

Mudança de fase: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $- 1 \cdot 2$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

Mudança de fase: $- 2$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $4$

Mudança de fase: $- 2$ ( $2$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $2$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = - 3 + 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $4$

Mudança de fase: $- 2$ ( $2$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $2$

Etapa 8