Pré-álgebra Exemplos

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1

Simplifique $\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r}$ .

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 6^{2}} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r$ e $b = 6$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - r} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 1$ de $- r$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - (r)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 6) - (r)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6 + r)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.2.4

Reordene os termos.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.3

Para escrever $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.4

Para escrever $- \frac{r}{- 1 (r - 6)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{r}{- 1 (r - 6)}$ por $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores de $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.5.4

Reordene os fatores de $- 1 (r - 6) (r + 6)$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 \cdot - 1 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $30$ por $- 1$ .

$\frac{- 30 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 17$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 30 + 17 r - r \cdot r - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.5

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.5.1

Mova $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - (r \cdot r) - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.5.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - 6 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.7

Subtraia $6 r$ de $17 r$ .

$\frac{- 30 - r^{2} + 11 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.8

Reordene os termos.

$\frac{- r^{2} + 11 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.7.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 30 = 30$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 1.7.9.1.1

Fatore $11$ de $11 r$ .

$\frac{- r^{2} + 11 (r) - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9.1.2

Reescreva $11$ como $5$ mais $6$

$\frac{- r^{2} + (5 + 6) r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- r^{2} + 5 r + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.7.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- r^{2} + 5 r) + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{r (- r + 5) - 6 (- r + 5)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.7.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- r + 5$ .

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8

Simplifique os termos.

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $r - 6$ .

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Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- r + 5}{- (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{- r + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.3

Fatore $- 1$ de $- r$ .

$- \frac{- (r) + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.4

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r) - 1 (- 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.5

Fatore $- 1$ de $- (r) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.6.1

Reescreva $- (r - 5)$ como $- 1 (r - 5)$ .

$- \frac{- 1 (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 1.8.6.4

Multiplique $\frac{r - 5}{r + 6}$ por $1$ .

$\frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Etapa 2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$r \approx 16$

Etapa 3