Pré-álgebra Exemplos

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Etapa 1

Escreva $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ como uma equação.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Etapa 2

Simplifique $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

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Etapa 2.1

Divida a fração $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ em duas frações.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $23 x^{2}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $- 104 x$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $x$ de $x (- x^{2}) + x (23 x)$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $x$ de $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Etapa 2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Etapa 4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Etapa 4.2.3

Mova $- 104$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Etapa 4.4

Reescreva $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.4.1

Fatore $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Etapa 4.4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Etapa 4.4.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.4.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.5

Multiplique $23$ por $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.6

Some $8$ e $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Etapa 4.4.1.3.7

Multiplique $- 104$ por $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Etapa 4.4.1.3.8

Some $100$ e $208$ .

$308 - 308$

Etapa 4.4.1.3.9

Subtraia $308$ de $308$ .

$0$

Etapa 4.4.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Etapa 4.4.1.5

Divida $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ por $x + 2$ .

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Etapa 4.4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Etapa 4.4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Etapa 4.4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Etapa 4.4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Etapa 4.4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Etapa 4.4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Etapa 4.4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 x^{2} + 50 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Etapa 4.4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Etapa 4.4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Etapa 4.4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 154 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Etapa 4.4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Etapa 4.4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 154 x - 308$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Etapa 4.4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Etapa 4.4.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Etapa 4.4.1.6

Escreva $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ como um conjunto de fatores.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Etapa 4.4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ e cuja soma é $b = 25$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Fatore $25$ de $25 x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Etapa 4.4.2.1.2

Reescreva $25$ como $11$ mais $14$

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Etapa 4.4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Etapa 4.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $- x + 11$ e $x - 11$ .

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5.2

Reescreva $11$ como $- 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5.4

Reescreva $- (x - 11)$ como $- 1 (x - 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Etapa 5.6

Divida $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ por $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Etapa 7

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Etapa 9

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Etapa 10

Expanda $(- x - 2) (x - 14)$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Etapa 11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1.1.1

Mova $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Etapa 11.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- 14$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Etapa 11.2

Subtraia $2 x$ de $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Etapa 12

Ao resolver $y$ , $y$ não varia diretamente com $x^{2}$ .

$y$ não varia diretamente com $x^{2}$