Pré-álgebra Exemplos

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x - 40 y + 103 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 40$ e $c = 3 x^{2} - 6 x + 103$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 40$ à potência de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.5

Subtraia $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6

Reescreva $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.1.2

Fatore $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.1.3

Fatore $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.1.4

Fatore $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.1.5

Fatore $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.1.2

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.1.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.5

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.6

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.8

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.6.3.9

Multiplique $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Fatore $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.7.3

Mova $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.7.4

Reescreva $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.9

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.10

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.11

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 40$ à potência de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.1.2

Fatore $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.1.3

Fatore $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.1.4

Fatore $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.1.5

Fatore $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.1.2

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.1.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.5

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.6

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.8

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3.9

Multiplique $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Fatore $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7.3

Mova $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7.4

Reescreva $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.9

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.10

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.11

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $40$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 4.4.2

Fatore $4$ de $4 x i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 4.4.3

Fatore $4$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 4.4.4

Fatore $4$ de $4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 4.4.5

Fatore $4$ de $4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 4.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 40$ à potência de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6

Reescreva $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1.1

Fatore $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.1.2

Fatore $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.1.3

Fatore $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.1.4

Fatore $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.1.5

Fatore $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 5.1.6.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.1.2

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.1.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3

Combine expoentes.

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Etapa 5.1.6.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.5

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.6

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.8

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.6.3.9

Multiplique $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Etapa 5.1.7.1

Fatore $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.7.3

Mova $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.7.4

Reescreva $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.9

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.10

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.11

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ e $8$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $40$ como $- 1 (- 40)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot - 40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 5.4.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 40) - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 5.4.3

Fatore $4$ de $- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{8}$

Etapa 5.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 (2)}$

Etapa 5.4.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.4.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$y = \frac{- 1 (i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10)}{2}$

Etapa 5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Etapa 7

A equação em questão $y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}, - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$ não pode ser escrita como $y = k x^{2}$ . Portanto, $y$ não varia diretamente com $x^{2}$ .

$y$ não varia diretamente com $x$