Pré-álgebra Exemplos

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 3.2

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 4

Subtraia $8 y^{6}$ de $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5

Reescreva $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $- 3$ de $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $- 3$ de $- 6 y^{6}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 3$ de $- 15 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 3$ de $- 6$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.2

Reescreva $y^{6}$ como ${(y^{3})}^{2}$ .

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.3

Deixe $u = y^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{3}$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva $5$ como $1$ mais $4$

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Etapa 6

Fatore $- 5$ de $- 5 y^{3} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $- 5$ de $- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Etapa 6.2

Fatore $- 5$ de $5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Etapa 6.3

Fatore $- 5$ de $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Etapa 7

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Etapa 8

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Etapa 10

Fatore $- 1$ de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $- 1$ de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Etapa 10.2

Fatore $- 1$ de $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 10.3

Fatore $- 1$ de $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 11

Aplique a propriedade distributiva.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 13

Multiplique $3$ por $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 14

Expanda $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Multiplique $y^{3}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.1

Mova $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15.1.1.3

Some $3$ e $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 15.2

Some $12 y^{3}$ e $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 16

Aplique a propriedade distributiva.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 17

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Etapa 18

Expanda $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Mova $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.1.3

Some $2$ e $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Mova $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Etapa 19.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Etapa 20

Combine os termos opostos em $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

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Etapa 20.1

Subtraia $5 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Etapa 20.2

Some $5 y^{3} + 5 y$ e $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Etapa 20.3

Subtraia $5 y$ de $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Etapa 20.4

Some $5 y^{3}$ e $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Etapa 21

Some $15 y^{3}$ e $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Etapa 22

Subtraia $5$ de $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Etapa 23

O máximo divisor comum $GCF$ é o termo na frente da expressão fatorada.

$- 1$