Pré-álgebra Exemplos

$(3, 3)$ , $(5, 7)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 3 \cdot 7$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 21$

Etapa 2.2.2

Some $15$ e $21$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 36$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 3^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Etapa 3.2.3

Some $9$ e $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $9$ de $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 7^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Etapa 4.2.3

Some $25$ e $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{36}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $36$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $3$ de $36$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{2} \sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2} \sqrt{74}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2 \cdot 74}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $74$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{148}})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva $148$ como $2^{2} \cdot 37$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $4$ de $148$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{4 (37)}})$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2^{2} \cdot 37}})$

Etapa 6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{12}{2 \sqrt{37}})$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $2$ de $12$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Etapa 6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 (\sqrt{37})})$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Etapa 6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}})$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Etapa 6.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}})$

Etapa 6.6.2

Eleve $\sqrt{37}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}})$

Etapa 6.6.3

Eleve $\sqrt{37}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}})$

Etapa 6.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.6.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}})$

Etapa 6.6.6

Reescreva ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{1}})$

Etapa 6.6.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$

Etapa 6.7

Avalie $\arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$ .

$θ = 9.4623222$