Pré-álgebra Exemplos

(- 3, - 3)

$(- 3, - 3)$ ,

(- 1, 2)

$(- 1, 2)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

- 1

$- 1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

Etapa 2.2.2

Subtraia

6

$6$ de

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 3

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

a⃗ \cdot b⃗ = - 3

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

a⃗ \cdot b⃗ = - 3

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

Etapa 3

Encontre a magnitude de

a⃗

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve

- 3

$- 3$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve

- 3

$- 3$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Etapa 3.2.3

Some

9

$9$ e

9

$9$ .

| a⃗ | = \sqrt{18}

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Etapa 3.2.4

Reescreva

18

$18$ como

3^{2} \cdot 2

$3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore

9

$9$ de

18

$18$ .

| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

| a⃗ | = 3 \sqrt{2}

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

| a⃗ | = 3 \sqrt{2}

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

| a⃗ | = 3 \sqrt{2}

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

b⃗

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Etapa 4.2.3

Some

1

$1$ e

4

$4$ .

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de

- 3

$- 3$ e

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore

3

$3$ de

- 3

$- 3$ .

θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore

3

$3$ de

3 \sqrt{2} \sqrt{5}

$3 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique

2

$2$ por

5

$5$ .

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})$

Etapa 6.4

Multiplique

\frac{1}{\sqrt{10}}

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ por

\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))$

Etapa 6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique

\frac{1}{\sqrt{10}}

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ por

\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

Etapa 6.5.2

Eleve

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ à potência de

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Etapa 6.5.3

Eleve

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ à potência de

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Etapa 6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.5.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Etapa 6.5.6

Reescreva

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ como

10

$10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ como

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.5.6.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

Etapa 6.5.6.5

Avalie o expoente.

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

Etapa 6.6

Avalie

\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})

$\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

θ = 108.43494882

$θ = 108.43494882$

θ = 108.43494882

$θ = 108.43494882$