Pré-álgebra Exemplos

$(- 3, - 3)$ , $(- 1, 2)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

Etapa 2.2.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Etapa 3.2.3

Some $9$ e $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $9$ de $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))$

Etapa 6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

Etapa 6.5.2

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Etapa 6.5.3

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Etapa 6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.5.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Etapa 6.5.6

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

Etapa 6.5.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

Etapa 6.6

Avalie $\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

$θ = 108.43494882$