Pré-álgebra Exemplos

$(10, 7)$ , $(- 2, 1)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot - 2 + 7 \cdot 1$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7$

Etapa 2.2.2

Some $- 20$ e $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 13$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 7^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 7^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 49}$

Etapa 3.2.3

Some $100$ e $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{149}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Etapa 4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Etapa 4.2.3

Some $4$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149} \sqrt{5}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149 \cdot 5}})$

Etapa 6.1.2

Multiplique $149$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{745}})$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{13}{\sqrt{745}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{13}{\sqrt{745}}$ por $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{13}{\sqrt{745}} \cdot \frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}))$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{13}{\sqrt{745}}$ por $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{\sqrt{745} \sqrt{745}})$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{745}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} \sqrt{745}})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{745}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} {\sqrt{745}}^{1}})$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{2}})$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{745}}^{2}$ como $745$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{745}$ como $745^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{(745^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{1}})$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$

Etapa 6.5

Avalie $\arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$ .

$θ = 118.44292862$