Pré-álgebra Exemplos

$(10, 5)$ , $(23, - 4)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 23 + 5 \cdot - 4$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $10$ por $23$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 + 5 \cdot - 4$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 - 20$

Etapa 2.2.2

Subtraia $20$ de $230$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 210$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 5^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 5^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 25}$

Etapa 3.2.3

Some $100$ e $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{125}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $25$ de $125$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 (5)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 5 \sqrt{5}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{23^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $23$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + 16}$

Etapa 4.2.3

Some $529$ e $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{545}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{210}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $210$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $5$ de $210$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{5} \sqrt{545}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5} \sqrt{545}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5 \cdot 545}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $545$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{2725}})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva $2725$ como $5^{2} \cdot 109$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $25$ de $2725$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{25 (109)}})$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5^{2} \cdot 109}})$

Etapa 6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}})$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ por $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}} \cdot \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}})$

Etapa 6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ por $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \sqrt{109} \sqrt{109}})$

Etapa 6.5.2

Mova $\sqrt{109}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 (\sqrt{109} \sqrt{109})})$

Etapa 6.5.3

Eleve $\sqrt{109}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})})$

Etapa 6.5.4

Eleve $\sqrt{109}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})})$

Etapa 6.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.5.6

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{2}})$

Etapa 6.5.7

Reescreva ${\sqrt{109}}^{2}$ como $109$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{109}$ como $109^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{1}})$

Etapa 6.5.7.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109})$

Etapa 6.6

Multiplique $5$ por $109$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$

Etapa 6.7

Avalie $\arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$ .

$θ = 36.43085812$