Pré-álgebra Exemplos

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Etapa 2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Etapa 3.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Etapa 3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Etapa 4.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

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Etapa 6.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Etapa 6.1.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 6.5

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $135$ .

$θ = 135$