Pré-álgebra Exemplos

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Etapa 2.2.2

Some $\frac{1}{25}$ e $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Etapa 3.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Etapa 3.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Etapa 3.2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Etapa 3.2.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Etapa 3.2.6

Combine $9$ e $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Etapa 3.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Etapa 3.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Multiplique $9$ por $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Etapa 3.2.8.2

Some $1$ e $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Etapa 3.2.9

Reescreva $\sqrt{\frac{226}{25}}$ como $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Etapa 3.2.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 3.2.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Etapa 4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Etapa 4.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Etapa 4.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Etapa 4.2.5

Some $\frac{1}{25}$ e $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Etapa 4.2.6

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Etapa 4.2.7

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Etapa 4.2.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 4.2.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{226}}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Etapa 6.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{25}{\sqrt{226}}$ por $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Etapa 6.6.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Etapa 6.7

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{226}}$ por $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Etapa 6.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{226}}$ por $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Etapa 6.8.2

Eleve $\sqrt{226}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Etapa 6.8.3

Eleve $\sqrt{226}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Etapa 6.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.8.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Etapa 6.8.6

Reescreva ${\sqrt{226}}^{2}$ como $226$ .

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Etapa 6.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{226}$ como $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Etapa 6.8.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Etapa 6.9

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$