Pré-álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x + 7) (x + 1))$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x + 7) (x + 1))$

Etapa 1.2

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot ((x + 7) (x + 1))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Expanda $(x + 7) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 1) + 7 (x + 1))$

Etapa 1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 7 (x + 1))$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1)$

Etapa 1.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1)$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x + 7 x + 7 \cdot 1)$

Etapa 1.2.2.1.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x + 7 x + 7)$

Etapa 1.2.2.2

Some $x$ e $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 8 x + 7)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (8 x) + \frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (8 x) + \frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 1.2.4.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{7}{4}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{7}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = \frac{7}{4}$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{7}{4} - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{7}{4} - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{7}{4} - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$e = \frac{7}{4} - \frac{4}{1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = \frac{7}{4} - 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{7}{4} - 4$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{7}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{7}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{7 - 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$e = \frac{7 - 16}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.5.2

Subtraia $16$ de $7$ .

$e = \frac{- 9}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{9}{4}$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - \frac{9}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - \frac{9}{4}$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - \frac{9}{4})$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Simplifique dividindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, - \frac{5}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{13}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- 4, - \frac{5}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- 4, - \frac{5}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + \frac{7}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = 2 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{4}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = 2 (- 5) + \frac{25 + 7}{4}$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $25$ e $7$ .

$f (- 5) = 2 (- 5) + \frac{32}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 10 + \frac{32}{4}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $32$ por $4$ .

$f (- 5) = - 10 + 8$

Etapa 3.2.3

Some $- 10$ e $8$ .

$f (- 5) = - 2$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 5$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + \frac{7}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 6) = 2 (- 6) + \frac{{(- 6)}^{2} + 7}{4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = 2 (- 6) + \frac{36 + 7}{4}$

Etapa 3.5.2.2

Some $36$ e $7$ .

$f (- 6) = 2 (- 6) + \frac{43}{4}$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - 12 + \frac{43}{4}$

Etapa 3.5.3

Para escrever $- 12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 6) = - 12 \cdot \frac{4}{4} + \frac{43}{4}$

Etapa 3.5.4

Combine $- 12$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- 6) = \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{43}{4}$

Etapa 3.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 6) = \frac{- 12 \cdot 4 + 43}{4}$

Etapa 3.5.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f (- 6) = \frac{- 48 + 43}{4}$

Etapa 3.5.6.2

Some $- 48$ e $43$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{4}$

Etapa 3.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 6) = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.5.8

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 6$ é $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + \frac{7}{4}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{{(- 3)}^{2} + 7}{4}$

Etapa 3.8.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{9 + 7}{4}$

Etapa 3.8.1.2.2

Some $9$ e $7$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{16}{4}$

Etapa 3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{16}{4}$

Etapa 3.8.2.2

Divida $16$ por $4$ .

$f (- 3) = - 6 + 4$

Etapa 3.8.3

Some $- 6$ e $4$ .

$f (- 3) = - 2$

Etapa 3.8.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = - 3$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 2 (- 1) + \frac{7}{4}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{{(- 1)}^{2} + 7}{4}$

Etapa 3.11.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{1 + 7}{4}$

Etapa 3.11.1.2.2

Some $1$ e $7$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{8}{4}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{8}{4}$

Etapa 3.11.2.2

Divida $8$ por $4$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Etapa 3.11.3

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 3.11.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 1$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - \frac{5}{4} \\ - 5 & - 2 \\ - 4 & - \frac{9}{4} \\ - 3 & - 2 \\ - 1 & 0 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- 4, - \frac{5}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - \frac{5}{4} \\ - 5 & - 2 \\ - 4 & - \frac{9}{4} \\ - 3 & - 2 \\ - 1 & 0 \end{array}$

Etapa 5