Pré-álgebra Exemplos

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Etapa 1

Fatore $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ .

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} - 5 u - 24$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 8, 3$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{\frac{1}{4}} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{\frac{1}{4}} - 8$ como igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Etapa 3.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $4$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 8^{4}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 8^{4}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$x = 4096$

Etapa 4

Defina $x^{\frac{1}{4}} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{\frac{1}{4}} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Etapa 4.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $4$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$x = 81$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4096, 81$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ verdadeira.

$x = 4096$