Pré-álgebra Exemplos

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1

Elimine os expoentes fracionários multiplicando os dois expoentes pelo MMC.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2

Simplifique ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Etapa 3

Simplifique ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$512 x = x^{- 2}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}$

Etapa 4.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5

Multiplique cada termo em $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.1

Multiplique cada termo em $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$512 x^{3} = 1$

Etapa 6

Resolva a equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $512 x^{3}$ como ${(8 x)}^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 6.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 8 x$ e $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4

Simplifique.

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Etapa 6.2.4.1

Aplique a regra do produto a $8 x$ .

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $8 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $8 x - 1$ como igual a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $8 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$8 x = 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $8 x = 1$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $8 x = 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Etapa 6.5

Defina $64 x^{2} + 8 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $64 x^{2} + 8 x + 1$ como igual a $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.5.2.2

Substitua os valores $a = 64$ , $b = 8$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 6.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.2.3.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Etapa 6.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.3

Subtraia $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.4

Reescreva $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.7

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.5.2.3.1.7.1

Fatore $64$ de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.7.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Etapa 6.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Etapa 6.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Etapa 6.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$