Pré-álgebra Exemplos

$x = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1$

Etapa 1

Reescreva a equação como ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$ .

${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$

Etapa 2

Aplique a regra do produto a $\frac{a}{b}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - 1 = x$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $n$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - x = 1$

Etapa 3.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = 1 + x$

Etapa 4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}) = \ln (1 + x)$

Etapa 5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Reescreva $\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})$ como $\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}})$ .

$\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Etapa 5.2

Expanda $\ln (a^{\frac{1}{n}})$ movendo $\frac{1}{n}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{n} \ln (a) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Etapa 5.3

Expanda $\ln (b^{\frac{1}{n}})$ movendo $\frac{1}{n}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{n} \ln (a) - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Etapa 5.4

Combine $\frac{1}{n}$ e $\ln (a)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{n}$ e $\ln (b)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Etapa 6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1

Simplifique $\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n}$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (a) - \ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Etapa 6.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$

Etapa 7

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$n, 1$

Etapa 7.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$n$

Etapa 8

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ por $n$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ por $n$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (1 + x) n$

Etapa 9

Resolva a equação.

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ .

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ por $\ln (1 + x)$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ por $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1 + x)$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$