Pré-álgebra Exemplos

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$

Etapa 1

Some $\frac{1}{8}$ aos dois lados da equação.

$\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Etapa 2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 4$ .

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(t + 4) (t - 4), t - 4, 8$

Etapa 3.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.4

Os fatores primos de $8$ são $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 4$

Etapa 3.4.2

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 3.5

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2$

Etapa 3.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8$

Etapa 3.6

O fator de $t + 4$ é o próprio $t + 4$ .

$(t + 4) = t + 4$

$(t + 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.7

O fator de $t - 4$ é o próprio $t - 4$ .

$(t - 4) = t - 4$

$(t - 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.8

O MMC de $t + 4, t - 4, t - 4$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(t + 4) (t - 4)$

Etapa 3.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$8 (t + 4) (t - 4)$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ por $8 (t + 4) (t - 4)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ por $8 (t + 4) (t - 4)$ .

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.2.2

Multiplique $8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Combine $8$ e $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

$\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $(t + 4) (t - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$64 = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$64 = 8 \frac{1}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.2

Combine $8$ e $\frac{1}{t - 4}$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de $t - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.1

Fatore $t - 4$ de $(t + 4) (t - 4)$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$64 = 8 (t + 4) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$64 = 8 t + 8 \cdot 4 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $8$ por $4$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Etapa 4.3.1.6

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.1

Fatore $8$ de $8 (t + 4) (t - 4)$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Etapa 4.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Etapa 4.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$64 = 8 t + 32 + (t + 4) (t - 4)$

Etapa 4.3.1.7

Expanda $(t + 4) (t - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t (t - 4) + 4 (t - 4)$

Etapa 4.3.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4)$

Etapa 4.3.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$

Etapa 4.3.1.8

Combine os termos opostos em $t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.8.1

Reorganize os fatores nos termos $t \cdot - 4$ e $4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4$

Etapa 4.3.1.8.2

Some $- 4 t$ e $4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4$

Etapa 4.3.1.8.3

Some $t \cdot t$ e $0$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 4 \cdot - 4$

Etapa 4.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.9.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} + 4 \cdot - 4$

Etapa 4.3.1.9.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} - 16$

Etapa 4.3.2

Subtraia $16$ de $32$ .

$64 = 8 t + t^{2} + 16$

Etapa 5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $8 t + t^{2} + 16 = 64$ .

$8 t + t^{2} + 16 = 64$

Etapa 5.2

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$8 t + t^{2} + 16 - 64 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$8 t + t^{2} - 48 = 0$

Etapa 5.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Deixe $u = t$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t$ .

$8 u + u^{2} - 48 = 0$

Etapa 5.4.2

Fatore $8 u + u^{2} - 48$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $8$ .

$- 4, 12$

Etapa 5.4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 12) = 0$

Etapa 5.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t$ .

$(t - 4) (t + 12) = 0$

Etapa 5.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t - 4 = 0$

$t + 12 = 0$

Etapa 5.6

Defina $t - 4$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $t - 4$ como igual a $0$ .

$t - 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$t = 4$

Etapa 5.7

Defina $t + 12$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Defina $t + 12$ como igual a $0$ .

$t + 12 = 0$

Etapa 5.7.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$t = - 12$

Etapa 5.8

A solução final são todos os valores que tornam $(t - 4) (t + 12) = 0$ verdadeiro.

$t = 4, - 12$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$ verdadeira.

$t = - 12$