Pré-álgebra Exemplos

$w^{4} - w = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $w$ de $w^{4} - w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $w$ de $w^{4}$ .

$w \cdot w^{3} - w = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $w$ de $- w$ .

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $w$ de $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$w (w^{3} - 1) = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

Etapa 1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = w$ e $b = 1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $w$ por $1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

Etapa 1.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $w$ como igual a $0$ .

$w = 0$

Etapa 4

Defina $w - 1$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $w - 1$ como igual a $0$ .

$w - 1 = 0$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$w = 1$

Etapa 5

Defina $w^{2} + w + 1$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $w^{2} + w + 1$ como igual a $0$ .

$w^{2} + w + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $w^{2} + w + 1 = 0$ para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $w$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ verdadeiro.

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$