Pré-álgebra Exemplos

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \div \frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 1 k - 5}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $k$ por $1$ .

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ e cuja soma é $b = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $9$ de $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 (k) + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $9$ como $4$ mais $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 5) k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 5 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $1$ de $1 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 (k) - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $1$ como $- 4$ mais $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 5) k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 5 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $k - 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{16 k^{2} - 1}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva $16 k^{2}$ como ${(4 k)}^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

Etapa 5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 k$ e $b = 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $4 k + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $4 k + 5$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $4 k + 5$ de $(k + 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Etapa 6.2.2

Fatore $4 k + 5$ de $(k - 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{k - 1}{k + 1}$ por $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 7

Eleve $k - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 8

Eleve $k - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$