Pré-álgebra Exemplos

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 (x) - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + (1 - 4) x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x^{2} + x) - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x (4 x + 1) - (4 x + 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $3$ .

$- 2, 5$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x + 1}{2 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 5) (2 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x + 1}{2 - x}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x + 5) (2 - x)$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(3 x + 5) (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(3 x + 5) (2 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 - x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 - 5 x - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $5 x$ de $6 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.5

Expanda $(- x - 1) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x (x + 5) - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.6.2

Subtraia $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 6 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.7

Subtraia $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.8

Subtraia $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 10 - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 6.9

Subtraia $5$ de $10$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 2) (x + 5)}$

Etapa 7.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 1 (2)) (x + 5)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 8

Para escrever $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 9.2

Reordene os fatores de $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ .

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- (4 x) - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.6

Expanda $(- 4 x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x (x - 1) - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.7.2

Subtraia $x$ de $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.8

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{5 x - 5 + 0 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.9

Some $5 x$ e $0$ .

$\frac{5 x - 5 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.10

Some $5 x$ e $3 x$ .

$\frac{8 x - 5 + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.11

Some $- 5$ e $1$ .

$\frac{8 x - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.12

Fatore $4$ de $8 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.12.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.12.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 11.12.3

Fatore $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (2 x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 12

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- x + 2) (x + 5)}$

Etapa 12.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) + 2) (x + 5)}$

Etapa 12.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}$

Etapa 12.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- (x - 2) (x + 5)}$

Etapa 12.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- 1 (x - 2) (x + 5)}$

Etapa 12.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 12.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Etapa 12.5.4

Multiplique $\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$ por $1$ .

$\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$