Pré-álgebra Exemplos

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 9} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Etapa 1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 s = 2 \cdot s \cdot 3$

Etapa 1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{s}{s^{2} + 2 \cdot s \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = s$ e $b = 3$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Etapa 1.2

Fatore $s^{2} + 4 s + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ por $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ por $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) (s + 3) (s + 3)}$

Etapa 4.3

Eleve $s + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} (s + 3))}$

Etapa 4.4

Eleve $s + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} {(s + 3)}^{1})}$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{s (s + 1) + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{s \cdot s + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $s$ por $s$ .

$\frac{s^{2} + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6.3

Multiplique $s$ por $1$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 5 \cdot 3}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Etapa 6.6

Some $s$ e $5 s$ .

$\frac{s^{2} + 6 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$