Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x - 8} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} - 12 x + 32$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 8, - 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x - 8) (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 3) (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(x + 3) (x - 8)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 8) + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.2.2

Some $- 8 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.5

Expanda $(- x + 5) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.6.1.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.6.2

Some $- 2 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.7

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.8

Some $- 5 x$ e $0$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.9

Some $- 5 x$ e $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 24 + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.10

Some $- 24$ e $10$ .

$\frac{- 2 x - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.11

Fatore $2$ de $- 2 x - 14$ .

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Etapa 6.11.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.11.2

Fatore $2$ de $- 14$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 6.11.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (- 7)$ .

$\frac{2 (- x - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 7.2

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.4.1

Reescreva $- (x + 7)$ como $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Etapa 7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x + 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$