Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} - 12 x + 32$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 8, - 4$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x - 2}{x - 8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{3 x}{4 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 8) (4 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x - 2}{x - 8}$ por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3 x}{4 - x}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 8) (4 - x)$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Expanda $(x - 2) (4 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.2.2

Some $4 x$ e $2 x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 8$ por $- 3$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.6

Some $6 x$ e $24 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.7

Subtraia $3 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.8

Reordene os termos.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.9

Fatore $2$ de $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.9.2

Fatore $2$ de $30 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.9.3

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.9.4

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 6.9.5

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

Etapa 7.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Mova um número negativo do denominador de $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ para o numerador.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Etapa 7.4.2

Reordene os termos.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Etapa 7.4.3

Reordene os fatores de $(x - 8) (- x + 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $15$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.4

Multiplique $- 1$ por $- 88$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.5

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.6

Some $- 8$ e $88$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7

Reescreva $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.1.2

Fatore $5$ de $30 x$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.1.3

Fatore $5$ de $80$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.1.4

Fatore $5$ de $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.1.5

Fatore $5$ de $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e cuja soma é $b = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2.1.2

Reescreva $6$ como $- 2$ mais $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 8.7.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 2$ .

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Etapa 9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

Etapa 9.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

Etapa 9.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

Etapa 9.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

Etapa 9.5

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

Etapa 9.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

Etapa 9.7

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

Etapa 9.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

Etapa 9.9

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Etapa 9.10

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Etapa 9.11

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$