Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x^{4} - 1}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2})}^{2} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot (x^{2} + 9)$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + 9$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))} \cdot (x^{2} + 9)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))} \cdot (x^{2} + 9)$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)}$