Pré-álgebra Exemplos

$\frac{y^{2} + 15 y + 50}{y^{2} + 5 y - 6} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 1

Fatore $y^{2} + 15 y + 50$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $50$ e cuja soma é $15$ .

$5, 10$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{y^{2} + 5 y - 6} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 2

Fatore $y^{2} + 5 y - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $5$ .

$- 1, 6$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Subtraia $7$ de $6$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} - 1}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 10 y + 25}$

Etapa 4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 10 y + 5^{2}}$

Etapa 4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Etapa 4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 5$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{{(y + 5)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{(y + 5) (y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $y + 5$ e ${(y + 5)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y + 5$ de $(y + 5) (y + 10) ((y + 1) (y - 1))$ .

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $y + 5$ de $(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}$ .

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y + 5) ((y - 1) (y + 6) (y + 5))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y + 5) ((y - 1) (y + 6) (y + 5))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) (y + 5)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) (y + 5)}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(y + 10) (y + 1)}{(y + 6) (y + 5)}$