Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 2 x - 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $2$ .

$- 4, 6$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 7

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 8

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 6$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = 1, 4, - 6$

Etapa 12

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $2$ .

$- 4, 6$

Etapa 12.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Etapa 12.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 12.2.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 12.2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 12.2.4

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 12.2.4.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 12.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 6$

Etapa 12.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $3.375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 0.041\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $- 0.0625$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $1.041\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $x > 4$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 6 or x > 4$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Etapa 17