Pré-álgebra Exemplos

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ como $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (2^{2 x + 2})$ movendo $2 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (3^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

Etapa 4

Mova $2 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

Etapa 6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $2 \ln (2)$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

Etapa 7.2

Subtraia $\ln (\frac{3}{14})$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Etapa 8

Fatore $x$ de $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $2 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ por $2 \ln (2) + \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ por $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 9.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.2.5.1

Reescreva $- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ como $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.06203479 \dots$