Pré-álgebra Exemplos

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Etapa 1

Reescreva $2^{x - 1}$ como $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 2

Reescreva $2^{2 x}$ como exponenciação.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 3

Remova os parênteses.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Etapa 6

Some $- 4$ e $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Etapa 7

Resolva $u$ .

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Etapa 7.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.2

Simplifique.

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Etapa 7.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{u}{2}$ para o numerador.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Etapa 7.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.3

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 1$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.1.3

Some $1$ e $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Etapa 7.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Etapa 8

Substitua $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Etapa 9.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Etapa 9.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 9.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Etapa 9.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 9.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Etapa 9.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Etapa 10

Substitua $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Etapa 11

Resolva $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Etapa 11.1

Reescreva a equação como $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Etapa 11.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Etapa 11.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 11.4

Não há uma solução para $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Nenhuma solução

Etapa 12

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Etapa 15