Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x}{1 - x} > 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{1 - x} - 1 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{1 - x} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - (1 - x)}{1 - x} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - - x}{1 - x} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - - x}{1 - x} > 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x - 1 + 1 x}{1 - x} > 0$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - 1 + x}{1 - x} > 0$

Etapa 2.4.4

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 x - 1}{1 - x} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x - 1 = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 7

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - x = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{0}{1 - (0)} > 1$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.75$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0.75$ na desigualdade original.

$\frac{0.75}{1 - (0.75)} > 1$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4}{1 - (4)} > 1$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{3}$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{2} < x < 1$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$\frac{1}{2} < x < 1$

Notação de intervalo:

$(\frac{1}{2}, 1)$

Etapa 15