Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{x}{x^{2} - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x}{x^{2} - 1}$ por $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.1.2

Fatore $x$ de $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.2

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.3.1

Reordene os termos.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva $1$ como $- 4$ mais $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.5

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

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Etapa 5.5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.5.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.5.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.5.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.5.5

Multiplique $x$ por $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Etapa 5.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Etapa 5.7

Fatore.

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Etapa 5.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 5.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8

Combine expoentes.

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Etapa 5.8.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8.4

Remova os parênteses.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8.5

Reordene os termos.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.8.6

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Etapa 5.8.7

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Etapa 5.8.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Etapa 5.8.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Etapa 5.9

Reduza a expressão $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Etapa 5.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Etapa 6

Reduza a expressão $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x - 1$ de $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$