Pré-álgebra Exemplos

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Etapa 2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} - 2 x^{3}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Etapa 2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Etapa 2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ .

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 7 \cdot 12 = - 84$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + 8 (x) + 12$

Etapa 3.1.2

Reescreva $8$ como $- 6$ mais $14$

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + (- 6 + 14) x + 12$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} - 6 x + 14 x + 12$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{3} (x - 2) + (- 7 x^{2} - 6 x) + 14 x + 12$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x - 2) + x (- 7 x - 6) - 2 (- 7 x - 6)$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 7 x - 6$ .

$x^{3} (x - 2) + (- 7 x - 6) (x - 2)$

Etapa 4

Fatore $x - 2$ de $x^{3} (x - 2) + (- 7 x - 6) (x - 2)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x - 2$ de $x^{3} (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (- 7 x - 6) (x - 2)$

Etapa 4.2

Fatore $x - 2$ de $(- 7 x - 6) (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 7 x - 6)$

Etapa 4.3

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 7 x - 6)$ .

$(x - 2) (x^{3} - 7 x - 6)$

Etapa 5

Fatore.

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Etapa 5.1

Reescreva $x^{3} - 7 x - 6$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{3} - 7 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 5.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 5.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

Etapa 5.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Etapa 5.1.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Etapa 5.1.1.3.4

Some $- 1$ e $7$ .

$6 - 6$

Etapa 5.1.1.3.5

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 5.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x - 6}{x + 1}$

Etapa 5.1.1.5

Divida $x^{3} - 7 x - 6$ por $x + 1$ .

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Etapa 5.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Etapa 5.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Etapa 5.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 5.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 5.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 5.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 5.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 5.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Etapa 5.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 5.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 5.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 5.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 5.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 5.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 6$

Etapa 5.1.1.6

Escreva $x^{3} - 7 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 6))$

Etapa 5.1.2

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 5.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 3) (x + 2)))$

Etapa 5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) ((x + 1) (x - 3) (x + 2))$

Etapa 5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 2)$