Pré-álgebra Exemplos

$x^{4} - 10 x + 9$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Etapa 3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{4} - 10 \cdot 1 + 9$

Etapa 3.2

Eleve $1$ à potência de $4$ .

$1 - 10 \cdot 1 + 9$

Etapa 3.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$1 - 10 + 9$

Etapa 3.4

Subtraia $10$ de $1$ .

$- 9 + 9$

Etapa 3.5

Some $- 9$ e $9$ .

$0$

Etapa 4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 10 x + 9}{x - 1}$

Etapa 5

Divida $x^{4} - 10 x + 9$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

Etapa 5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

Etapa 5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

Etapa 5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Etapa 5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x + 9$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Etapa 5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

$0$

Etapa 5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + x^{2} + x - 9$

Etapa 6

Escreva $x^{4} - 10 x + 9$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x - 9)$