Pré-álgebra Exemplos

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{7 x + 21 x}{x + y}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.1.2

Fatore $6$ de $36 x y$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.1.3

Fatore $6$ de $54 y^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 (6 x y)$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3 y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ e cuja soma é $b = 6$ .

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Etapa 3.1.1

Reordene os termos.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.2

Reordene $5 y^{2}$ e $6 x y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.3

Fatore $6$ de $6 x y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.4

Reescreva $6$ como $1$ mais $5$

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.6

Multiplique $x y$ por $1$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.1.7

Mova os parênteses.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $x + y$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{7 x + 21 x}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ por $\frac{1}{7 x + 21 x}$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (7 x + 21 x)}$

Etapa 6

Some $7 x$ e $21 x$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $6$ e $28$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $6 {(x + 3 y)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Etapa 7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $(x + 5 y) \cdot 28 x$ .

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 14 x}$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Mova $14$ para a esquerda de $x + 5 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 \cdot (x + 5 y) x}$

Etapa 8.2

Reordene os fatores em $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 (x + 5 y) x}$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 x (x + 5 y)}$