Pré-álgebra Exemplos

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ e cuja soma é $b = 19$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $19$ de $19 u$ .

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Etapa 3.1.2

Reescreva $19$ como $- 8$ mais $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 5

Reescreva $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 7

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 8.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 8.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Etapa 9

Reescreva $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Etapa 10

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Etapa 11

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 12

Fatore.

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Etapa 12.1

Simplifique.

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Etapa 12.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 12.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 12.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 12.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Etapa 12.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Etapa 12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$