Pré-álgebra Exemplos

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

Etapa 1

Fatore $15 y^{2}$ de $15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $15 y^{2}$ de $15 y^{8}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

Etapa 1.2

Fatore $15 y^{2}$ de $30 y^{4}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) - 45 y^{2}$

Etapa 1.3

Fatore $15 y^{2}$ de $- 45 y^{2}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

Etapa 1.4

Fatore $15 y^{2}$ de $15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2})$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

Etapa 1.5

Fatore $15 y^{2}$ de $15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2} - 3)$

Etapa 2

Fatore $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{6} + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$1 + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Etapa 2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2 - 3$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $2$ .

$3 - 3$

Etapa 2.3.6

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{y^{6} + 2 y^{2} - 3}{y + 1}$

Etapa 2.5

Divida $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ por $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{6} + y^{5}$ .

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y^{5} - y^{4}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{4} + y^{3}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Etapa 2.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

Etapa 2.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

Etapa 2.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

Etapa 2.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y^{3} - y^{2}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

Etapa 2.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

Etapa 2.5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

Etapa 2.5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

Etapa 2.5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Etapa 2.5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 y^{2} + 3 y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Etapa 2.5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Etapa 2.5.26

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

Etapa 2.5.27

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

Etapa 2.5.28

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

Etapa 2.5.29

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 y - 3$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

Etapa 2.5.30

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

$0$

Etapa 2.5.31

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3$

Etapa 2.6

Escreva $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ como um conjunto de fatores.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Etapa 3

Fatore $y^{4}$ de $y^{5} - y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $y^{4}$ de $y^{5}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Etapa 3.2

Fatore $y^{4}$ de $- y^{4}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y + y^{4} \cdot - 1 + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Etapa 3.3

Fatore $y^{4}$ de $y^{4} y + y^{4} \cdot - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Etapa 4

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y^{3} - y^{2}) + 3 y - 3))$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{2} (y - 1) + 3 (y - 1)))$

Etapa 5

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

Etapa 6

Fatore $y - 1$ de $y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $y - 1$ de $y^{4} (y - 1)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

Etapa 6.2

Fatore $y - 1$ de $(y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

Etapa 7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Remova os parênteses desnecessários.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Remova os parênteses desnecessários.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$15 y^{2} ((y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3))$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$15 y^{2} (y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)$