Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{x + 1}{x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{x - 2}{x + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 4) (x + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{x + 1}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{x - 2}{x + 4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1

Expanda $(x + 1) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.2.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.2.2

Some $4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.3

Expanda $(x - 2) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.4.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.4.2

Subtraia $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.6

Simplifique.

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Etapa 2.7.6.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.7.6.2

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.8

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.9

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.10

Subtraia $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.11

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.12

Some $4$ e $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.13

Subtraia $32$ de $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.14.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

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Etapa 2.14.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.1.3

Fatore $2$ de $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.14.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 2.14.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $4$ mais $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.14.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 2.14.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 7

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 8

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 11.2.2

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 11.2.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 11.2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 11.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $4.5$ não é menor do que o lado direito $- 2.3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 4.\overline{714285}$ é menor do que o lado direito $- 1.\overline{571428}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $- 0.75$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $\frac{5}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{857142}$ é menor do que o lado direito $- 2.\overline{428571}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.5

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 13.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Etapa 13.5.3

O lado esquerdo $3.9$ não é menor do que o lado direito $- 1.7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < - 2$ ou $\frac{5}{2} < x < 4$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Notação de intervalo:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Etapa 16