Pré-álgebra Exemplos

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 (x) - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$\frac{5 x}{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x}{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{5 x}{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{5 x}{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) (x + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4.2

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3))} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4.3

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{1 + 1}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de $(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{5 x (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $5 x (x + 3)$ .

$\frac{x (5 (x + 3)) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x (2 x - 1)$ .

$\frac{x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $x$ de $x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))$ .

$\frac{x (5 (x + 3) - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (5 x + 5 \cdot 3 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.7

Subtraia $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{x (x + 15 + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

Etapa 6.8

Some $15$ e $2$ .

$\frac{x (x + 17)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$