Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x - 1}{x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 5}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Expanda $(x - 1) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.3

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.4

Subtraia $6 x$ de $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.5

Some $- 20$ e $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.1.2

Reescreva $7$ como $- 3$ mais $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$