Pré-álgebra Exemplos

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 y$ .

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 (y) - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $4$ mais $- 6$

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + (4 - 6) y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + 4 y - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{9 y + 2}{(3 y^{2} + 4 y) - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{9 y + 2}{y (3 y + 4) - 2 (3 y + 4)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 y + 4$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + 1 y - 4}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 3$ mais $4$

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + (- 3 + 4) y - 4}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} - 3 y + 4 y - 4}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(3 y^{2} - 3 y) + 4 y - 4}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y (y - 1) + 4 (y - 1)}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y - 1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(9 y + 2) (y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y (y - 1) + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.1.1

Mova $y$ .

$\frac{9 (y \cdot y) + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{9 y^{2} + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2.2

Some $- 9 y$ e $2 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y + 7 \cdot - 2}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.4

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.5

Some $- 7 y$ e $7 y$ .

$\frac{9 y^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.6

Some $9 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{9 y^{2} - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.7

Subtraia $14$ de $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.8

Reescreva $9 y^{2} - 16$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.8.1

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.8.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 4^{2}}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 6.8.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 y$ e $b = 4$ .

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $3 y + 4$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y - 4}{(y - 1) (y - 2)}$