Pré-álgebra Exemplos

$\frac{7}{x^{2} - 10 x + 16} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 10 x + 16$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} - 13 x + 40$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $40$ e cuja soma é $- 13$ .

$- 8, - 5$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x - 8) (x - 5) (x - 2)$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 (x - 5) + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 5 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.2

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x - 35 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Mova $x$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.6

Subtraia $4 x$ de $7 x$ .

$\frac{3 x - 35 + 2 x^{2}}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.7

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 6.8.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8.1.2

Reescreva $3$ como $- 7$ mais $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 7 + 10) x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} - 7 x) + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 7) + 5 (2 x - 7)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Etapa 6.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 7$ .

$\frac{(2 x - 7) (x + 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$