Pré-álgebra Exemplos

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Etapa 1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Etapa 1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.6

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.7

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 6.8

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 6.8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 6.8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$