Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 4 + 0 i \\ 0 + 2 i \\ 1 - 1 i \\ 4 - 3 i \end{array}]$

Etapa 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 0 i |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $0$ por $i$ .

$\sqrt{{| 4 + 0 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.2

Some $4$ e $0$ .

$\sqrt{{| 4 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\sqrt{4^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $2 i$ .

$\sqrt{16 + {| 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{16 + {\sqrt{0^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $0$ e $4$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.10

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{16 + 2^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.13

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.14

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.16

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.17

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.18.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 + 4 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.18.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{1} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.19

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.20

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.21

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + 9}}^{2}}$

Etapa 2.22

Some $16$ e $9$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{25}}^{2}}$

Etapa 2.23

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{5^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.24

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 5^{2}}$

Etapa 2.25

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 25}$

Etapa 2.26

Some $16$ e $4$ .

$\sqrt{20 + 2 + 25}$

Etapa 2.27

Some $20$ e $2$ .

$\sqrt{22 + 25}$

Etapa 2.28

Some $22$ e $25$ .

$\sqrt{47}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{47}$

Forma decimal:

$6.85565460 \dots$