Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplique $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Etapa 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Etapa 1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Etapa 1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} x + 1 y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} x + y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $z$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} x + y + z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Etapa 2

Write as a linear system of equations.

$x + y + z = 3$

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x + z = 3 - y$

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.1.2

Subtraia $z$ dos dois lados da equação.

$x = 3 - y - z$

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$x = 3 - y - z$

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $3 - y - z$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $2 x + 2 y + 2 z = 6$ por $3 - y - z$ .

$2 (3 - y - z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (3 - y - z) + 2 y + 2 z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 3 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 - 2 y + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine os termos opostos em $6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$6 - 2 z + 0 + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Some $6 - 2 z$ e $0$ .

$6 - 2 z + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Some $- 2 z$ e $2 z$ .

$6 + 0 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Some $6$ e $0$ .

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $3 x + 3 y + 3 z = 9$ por $3 - y - z$ .

$3 (3 - y - z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Simplifique $3 (3 - y - z) + 3 y + 3 z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 + 3 (- y) + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 y + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.2

Combine os termos opostos em $9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.2.1

Some $- 3 y$ e $3 y$ .

$9 - 3 z + 0 + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.2.2

Some $9 - 3 z$ e $0$ .

$9 - 3 z + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.2.3

Some $- 3 z$ e $3 z$ .

$9 + 0 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.2.4.1.2.4

Some $9$ e $0$ .

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Etapa 3.3

Remova todas as equações do sistema que sejam sempre verdadeiras.

$x = 3 - y - z$