Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplique $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Etapa 1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 2

Write as a linear system of equations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $z$ por $8 + y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $2 x + 2 y - 5 z = 15$ por $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $5 y$ de $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $- x - y + 3 z = 23$ por $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Simplifique $- x - y + 3 (8 + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 3.2.4.1.1.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 3.2.4.1.2

Some $- y$ e $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 3.3

Reordene $8$ e $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.4

Resolva $y$ em $z = y + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.4.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $z - 8$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $- x + 2 y + 24 = 23$ por $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.5.2.1.2

Some $- 16$ e $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $2 x - 3 y - 40 = 15$ por $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.5.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Simplifique $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.5.4.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.5.4.1.2

Subtraia $40$ de $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6

Resolva $x$ em $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Some $3 z$ aos dois lados da equação.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6.1.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6.1.3

Some $15$ e $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6.2

Divida cada termo em $2 x = 3 z + 31$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3 z + 31$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $- x + 2 z + 8 = 23$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.2

Para escrever $2 z$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.3

Combine $2 z$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.7

Some $- 3 z$ e $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.8

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.9

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.9.1

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.10.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.7.2.1.10.2

Subtraia $31$ de $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8

Resolva $z$ em $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.2.1

Multiplique $2$ por $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8.3

Mova todos os termos que não contêm $z$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.8.3.2

Some $46$ e $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 3.9

Substitua todas as ocorrências de $z$ por $61$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ por $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 3.9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Simplifique $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 3.9.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 3.9.2.1.2.2

Some $183$ e $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 3.9.2.1.2.3

Divida $214$ por $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $y = z - 8$ por $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Etapa 3.9.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1

Subtraia $8$ de $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Etapa 3.10

Liste todas as soluções.

$y = 53, x = 107, z = 61$