Álgebra linear Exemplos

$\frac{2}{x^{2} - 2 x - 48} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 x - 6}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 48$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 8, 6$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 x - 6}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $11$ de $11 x$ .

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 (x) - 6}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $11$ como $- 1$ mais $12$

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + (- 1 + 12) x - 6}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} - 1 x + 12 x - 6}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{(2 x^{2} - 1 x) + 12 x - 6}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{x (2 x - 1) + 6 (2 x - 1)}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2}{(x - 8) (x + 6)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{(x - 8) (x + 6)}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)} + \frac{x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)} + \frac{x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x - 1) + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 2 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 8}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x - 2 + x^{2} + x \cdot - 8}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4 x - 2 + x^{2} - 8 \cdot x}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.7

Subtraia $8 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 4 x - 2 + x^{2}}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

Etapa 6.8

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - 4 x - 2}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$