Álgebra linear Exemplos

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Etapa 1.1.2

Reordene $8 y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Etapa 1.2

Divida cada termo por $8$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Etapa 5.3.3.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$\sqrt{7}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\sqrt{7}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 8.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 8.3.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 8.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 8.3.3.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Etapa 10