Álgebra linear Exemplos

2 x + y = - 5

$2 x + y = - 5$ ,

6 y + 32 z = - 46

$6 y + 32 z = - 46$ ,

- 7 x - 2 y + 8 z = 6

$- 7 x - 2 y + 8 z = 6$

Step 1

Encontre

A X = B

$A X = B$ do sistema de equações.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 0 & 6 & 32 - 7 & - 2 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 - 46 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 32 \\ - 7 & - 2 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 46 \\ 6 \end{array}]$

Step 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça uma matriz que seja dividida em duas partes iguais. No lado esquerdo, preencha os elementos da matriz original. No lado direito, preencha os elementos da matriz identidade. Para encontrar a matriz inversa, use as operações de linha para converter o lado esquerdo em matriz identidade. Depois disso, o inverso da matriz original estará do lado direito da matriz dupla.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Troque a linha

3

$3$ e a linha

2

$2$ para organizar os zeros na posição.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{3} \leftrightarrow R

$R_{3} \leftrightarrow R$

Realize a operação de linha

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ em

R_{1}

$R_{1}$ (linha

1

$1$ ) para converter alguns elementos na linha em

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

R_{1}

$R_{1}$ (linha

1

$1$ ) pela operação de linha

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Substitua

R_{1}

$R_{1}$ (linha

1

$1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifique

$R_{1}$ (linha

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ em

$R_{2}$ (linha

$2$ ) para converter alguns elementos na linha em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pela operação de linha

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) - 2 & (7) \cdot (0) + 8 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifique

$R_{2}$ (linha

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ em

$R_{2}$ (linha

$2$ ) para converter alguns elementos na linha em

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pela operação de linha

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (8) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{7}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (1) \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

Simplifique

$R_{2}$ (linha

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ em

$R_{1}$ (linha

$1$ ) para converter alguns elementos na linha em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{1}$ (linha

$1$ ) pela operação de linha

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

Substitua

$R_{1}$ (linha

$1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{16}{3}) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

Simplifique

$R_{1}$ (linha

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ em

$R_{3}$ (linha

$3$ ) para converter alguns elementos na linha em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{3}$ (linha

$3$ ) pela operação de linha

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

Substitua

$R_{3}$ (linha

$3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (\frac{16}{3}) + 32 & (- 6) \cdot (\frac{7}{3}) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 & (- 6) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifique

$R_{3}$ (linha

$3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ em

$R_{3}$ (linha

$3$ ) para converter alguns elementos na linha em

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{3}$ (linha

$3$ ) pela operação de linha

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

Substitua

$R_{3}$ (linha

$3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 14) & (- \frac{1}{14}) \cdot (1) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 4) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

Simplifique

$R_{3}$ (linha

$3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ em

$R_{1}$ (linha

$1$ ) para converter alguns elementos na linha em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{1}$ (linha

$1$ ) pela operação de linha

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

Substitua

$R_{1}$ (linha

$1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) - \frac{8}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

Simplifique

$R_{1}$ (linha

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Realize a operação de linha

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ em

$R_{2}$ (linha

$2$ ) para converter alguns elementos na linha em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pela operação de linha

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

Substitua

$R_{2}$ (linha

$2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + \frac{16}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (1) + \frac{7}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) + \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

Simplifique

$R_{2}$ (linha

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Como o determinante da matriz é zero, não há inverso.

Nenhum inverso

Step 3

Como a matriz não tem um inverso, ela não pode ser resolvida usando a matriz inversa.

Nenhuma solução